Commande Optimale | V. Alexéev, V. Tikhomirov, S. Fomine

Un des traits les plus typiques de notre époque est l'intérêt croissant aux problèmes de commande, de contrôle et de gestion. Comme jamais dans l'histoire, on ressent aujourd'hui la nécessité· d'une gestion fructueuse et efficace des ressources naturelles et humaines, des moyens matériels et techniques.

Lorsqu'il s'agit des acquis les plus marquants du progrès scien- tifique et technique au xxe siècle, on cite le plus souvent la fission de l'atome, la conquête de l'espace et la création des ordinateurs. Sur ce fond, la théorie de la commande ne semble pas tellement remarquable, quoiqu'elle joue déjà un rôle de pointe dans le déve- loppement de la civilisation moderne, et il y a bien des raisons pour- croire que son rôle ira croissant.

Partout où la participation active de l'homme est possible, il doit faire face au choix de la commande la meilleure possible, ou, comme on dit, de la commande optimale. Posés par les exigences de l'économie et de la technique, les problèmes d'optimisation ont nécessité à leur tour la création de nouveaux chapitres des mathé- matiques.

Ainsi, dans les années 40, l'étude des problèmes économique& a engendré une nouvelle branche de l'analyse, qui fut appelée programmation linéaire ou programmation convexe. Pendant ces mêmes années, les problèmes de commande d'appareils volants et de processus technologiques à structure complexe sont devenus. actuels. La théorie mathématique appropriée fut bâtie au milieu des années 50 et fut appelée théorie de commande optimale. Le rôle le plus important y est joué par le << principe du maximum >>- de Pontriaguine. La théorie de commande optimale réalisa une syn- thèse des idées et des méihodes de recherche qui, d'une part, prennent leur source dans les travaux des classiques du calcul des variations, et, d'autre part, sont assez récentes. Le développement de cette théorie est lié, de manière très essentielle, aux noms de plusieurs chercheurs soviétiques.

Ce livre a été conçu comme un manuel de divers cours d'optimi- sation, professés dans les universités et dans les institutions d'enseignement supeneur où les mathématiques sont situées à un bon niveau. Voyons brièvement quels sont les principes de base et le plan de l'ouvrage.

Les débuts de l'histoire des problèmes d'extrémum sont éloignés de nos jours: dans une certaine mesure, de tels problèmes ont toujours attiré l'attention des mathématiciens. Nous cherchons à faire découvrir aux lecteurs (de niveaux de préparation différents) la continuité du cheminement scientifique et les profondes liaisons qui existèrent dans le temps entre ces problèmes. Cette conception est développée au Ier chapitre, qui est accessible à un très large groupe de lecteurs. Quoique l'appareil mathématique que nous y employons est peu développé, nous avons essayé d'effectuer notre exposé dans le style d'un texte mathématique précis, nous limitant aux fragments les plus expressifs mais élémentaires de l'histoire des problèmes d'extrémnm. Notre but est de démontrer la liaison profonde entre les idées de base dues à Kepler et Fermat, les problèmes posés par Huygens, Newton et Bernoulli, les idées et les méthodes de Lagrange, Euler et Weierstrass ainsi que leur interaction avec l'étape actuelle du développement de la théorie, étape qui se place dans le prolongement direct de la recherche effectuée par ces précnrseurs éminents. En outre, le Icr chapitre décrit des méthodes de résolution de certains problèmes concrets et donne des exemples DÙ la solution de problèmes posés à des époques différentes par des chercheurs de différentes écoles est obtenue en se basant sur un point de vue unique.

Le reste du livre est adressé en premier lieu aux mathématiciens. La création de la nouvelle théorie a stimulé le développement de l'analyse mathématique, de ses branches aussi bien anciennes que nouvelles. Cellesci ne sont pas toutes représentées de manière appropriée dans l'enseignement mathématique contemporain. Il nous semble que le fragment de l'analyse classique, concentré autour du thème des << fonctions implicites >>, joue aujonrd 'hui un rôle exceptionnel dans tous les aspects de l'analyse, en dimension finie et infinie. Il en est de même pour les fondements de l'analyse convexe. Enfin, il est essentiel, pour la théorie de la commande optimale, que les faits fondamentaux de la théorie des équations différentielles restent valables également pour les équations aux deuxiè- mes membres discontinus.

Les trois branches de 1'analyse et de la géométrie que nous venons de mentionner sont exposées au IJc chapitre.

La théorie des problèmes d'extrémum proprement dite est pré- sentée dans le Ille et le IVe chapitres. Essentiellement, leur contenu est celui d'un cours obligatoire d'un semestre, professé par les auteurs à la faculté de mécanique et de mathématiques de l'Université de Moscou. Le texte est préparé de sorte qu'une seule conférence suffise à la démonstration des principaux théorèmes. Nous avons partout

cherché à donner une exposition complète, en évitant les lacunes, les considérations intuitives, << l'évidence >>, etc.

Certaines notations standards (provenant de la théorie des ensembles, de l'analyse fonctionnelle, etc.) sont employées dans le texte sans explication. Aussi, pour mieux orienter le lecteur, avons-nous ajouté, à la fin du livre, une liste des principales notations, suivies des explications nécessaires.

Les paragraphes dont les numéros sont marqués par un astérisque dans le texte et dans la table des matières sont appelés à montrer au lecteur les méthodes modernes de la théorie des problèmes d'extrémum. Ici l'exposé est plus proche de celui d'une monographie: nous nous permettons des renvois, en nombre minimal, il est vrai, à des théorèmes qui, quoique étant classiques, se trouvent encore en dehors des programmes traditionnels. Ces paragraphes ont été écrits sur la base des cours spéciaux facultatifs << Analyse convexe >>, << Chapitres supplémentaires de la théorie des problèmes d'extré- mum » et d'autres, également professés par les auteurs à la faculté de mécanique et de mathématiques del'Université de Moscou pendant plusieurs années.

Le lecteur peut s'informer en plus grand détail sur le contenu du présent ouvrage en étudiant la table des matières, dans laquelle les principaux résultats et faits exposés dans ce livre sont nommés explicitement.

On voit donc que notre livre est adressé en premier lieu aux étudiants des universités et des institutions d'enseignement supérieur à niveau mathématique suffisamment élevé, mais aussi aux ingénieurs, aux économistes et aux mathématiciens qui se trouvent en nécessité de résoudre divers problèmes d'extrémum. C'est à ces lecteurs que nous avons adressé l'Introduction; pour ceux qui s'intéresseraient à la théorie des problèmes d'extrémum d'une manière plus approfondie, nous avons ajouté à notre livre une bibliographie, assez complète en ce qui concerne les monographies et les articles de revue.

L'apparition et le développement du cours de commande optimale à la faculté de mécanique et de mathématiques de l'Université de Moscou sont surtout le mérite de Serguéi Vassiliévitch Fomine; et c'est à son initiative que nous devons l'apparition du présent ouvrage. En le rédigeant, nous nous sommes servis des notes originales du cours professé par S. V. Fomine, écrites en collaboration avec V. M. Tikhomirov. La mort prématurée de Serguéi Vassilié- vitch, en plein essort de ses forces et de son talent, l'ont lésé de la possibilité de voir la conclusion de ses efforts.

Nous exprimons ici notre reconnaissance sincère à nos collègues de la chaire des problèmes généraux de commande de la faculté de mécanique et de mathématiques de l'Université de Moscou, aussi bien pour leur participation active à la discussion des problèmes méthodologiques de l'enseignement du cours de commande optimale, que pour leurs remarques concernant le caractère de l'exposition de nombreuses questions concrètes abordées dans le livre.

Nous considérons qu'il est de notre devoir de noter que la formation des conceptions mathématiques sur lesquelles se base ce livre a été sérieusement influencée par l'activité créatrice de A. A. Milioutine.

Nous remercions A. I. Markouchévitch pour de précieuses con- sultations, ainsi que A. P. Bouslaev et G. G. MagarilIliaev, qui ont lu le manuscrit en détail et fait de nombreuses remarques très utiles.