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Analyse Mathematique. Fonctions D’une Variable. Tome 1, 1e Et 2e Partie Mir ( 1978) | G. Chilov

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Analyse Mathematique. Fonctions D'une Variable. Tome 1, 1e Et 2e Partie Mir ( 1978)

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Subjects: Analyse Mathematique, integrale de Riemann, équations différentielles, la théorie des équations intégrales, théorio des nombres, théorie des ensemble, théorie générale des limites, topologie, calcul différentiel, théorie des séries

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Description

L'Analyse est un vaste domaine des mathématiques lié aux
notions da fonction, de dérivée at d'int6grale. A l'heure actuelle, ella embrassa nombra da domaines plus restreints: équations différentielles (ordinaires et à dérivées partielles), équations intégrales,
fonctions de variable complexe, géométrie différentielle,
calcul des variations et d'autres. Mais t11ndls qua la con tanu da
l'analyse mathématique peut être considéré comme formé, les
opinions sur sa structure subissent d'importants changements.
Dans la cours classique des années 1920 de E. Goursat, toute l'analyse
est présentée comma sur uno immense plaine, à un même niveau
d'abstraction; dans les livres d'aujourd'hui, on prêta une grande
attention à la misa en relief des t étages t d'abstraction, c'est-à-dire
des « structures t (Bourbaki) différentes qui caractérisent les bases
mathématlco-logiques des constructions Initiales. Le retour aux
bases éclaircit l'essentiel du problème en libérant le mathématicien
de la nécessité d'étudier les traits individuels de l'objet, ca qui,
à son tour, rend possible l'étude de nouveaux objets offrant une
autre individualité mais la même construction de fond.
Ainsi, on connaissait la démonstration de l'existence et de
l'unicité de la solution d'une équation différentielle due à Picard
et basée sur la méthode des approximations successives de la fonction
cherchée sur un intervalle par d'autres fonctions obtenues selon des
règles données. Ensuite, on a formulé (Banach et d'autres savants)
ln« méthode du point fixe • que l'on a appliquée à la démonstration
du même théorème. Cette méthode a découvert la partie essentielle
de la démonstration de Picard : l'existence d'un opérateur contractant
dans un espace métrique. Et tout l'entourage, fonctions numériques
sur un intervalle, équation différentielle, s'est avéré peu
important. Finalement, la • méthode du point fi;~:e ta non seulement
rendu la démonatration du théorème de Picard plus claire, plus
t géométrique l), mais a aussi donné une possibilité de démontrer,
en développant son idée, une quantité do th6orèmes d'existence où
il ne s'agit même pas de fonctions sur un intervalle ni d'équations
6 AVANT-PROPOS
ditfér~ntielles. On peut en dire de même d~ la géométrie de 1 'espace
d'Hilbert, du calcul des fonctionnelles différentiabi<'S, etc.
Dons lo pr~sent li vrc, nous oxposons les concepts fondamentaux
de l'analyse mathématique relativement aux fonctions d'une varinble.
Mais nous attribuons au terme «une variable~ un sens élargi.
C'est que, pour certaines notious fondamentales do l'nnolyse, telles
que limite et continuité, la distinction entre les cas classiques d'une
et de plusieurs variables n'est pas si im.portante; pour les chapitr~>s
correspondants, nous préférons donc un niveau optimal de généralité
en sous-entendant par« une vnrinblo >)un point d'un espace métrique,
par oxomple. Cependant, lorsqu'on arrive â la dérivation et à l'intégration,
ln différence entre les cas classiques mentionnés devient
sensible, ~t nous nous bornons alors 11ux fonctions ~ vraiment t
d'une variable, d'ai.Jord réelle, puis complexe. Nranmoins, ce n'est
qu'au début que les valeurs de ces fonctions sont numériques;
par la suite elles deviennent vectorielles, môme appartenant à un
espace normé, ce qui offre un vaste champ d'applications. Les fonctions
analytiques font dans notre exposé partie intégrante de l'analyse.
Nous ne touchons pas, dans ca livre, nu grand domaine du
calcul différentiel et intégral d.es fonctions de plusieurs variables
qui demanderait encore un volume au moins.
Nous n'avons pas inclus dans lo livro l'intégrale de Lebesgue,
pareo que, dans les problèmes analytiques que l'on traite ici, on
ne rencontre que les fonctions continues (ou possédant uu nombre
fini de points de discontinuité) pour l 'int~gration desquelles l 'intégrale
de Riemann est bien suffisante. En cc qui concerne l!'s problèmes
plus compliqués do l'analyse, par exemple la théorie ùes
équations intégrales, le rôle décisif de l'intégrale cle Lebesgue est
incontestable. ~lnis un exposé d.e la théorie ùe l'intégrale de Lebesgu('
darut le présent livre risquerait de surcharger l'attontion rlu lecteur
par les nuances spécifiques de la théoric des fonctions de variable
réelle et de celle de la mesure.
Bien que, formellement, le livre n'exige que les connaissances
du cours secondaire, il serait bien si le lecteur s'était fnmiliarisé
avec la construction de graphiques, l'intégration, la décivatlon
et leurs applications géométriques les plus simples. Le présent
ouvrage n'est pas un manuel d'analyse mathématique: il est plutôt
destiné à susciter la réflexion, à faire comparer les aspects différents
A V ANT-PROPOS 7
de la théorie. Certains endroits peuvent être utilisés dans un cours
ou un séminaire de type approfondi. Les exercices poursui vent le
même but; aucun d'entre eux ne vise à travailler la technique (les
recueils usités contiennent de tels exercices en quantité suffisante),
mais tous illustrent et développent la théorie générale exposée.
Cet ouvrage est composé de trois parties. La première (t: Introduction
à l'analyse •) et la deuxième («Calcul différentiel et intégral~>)
sont à la disposition du lecteur; la troisième partie t: Cbapitres
choisis de l'analyse moderne 11 paraîtra en français fin 1973.
Dans la première partie, l'exposé systématique commence par
la théorie des nombres réels (chapitre 1). Nous sous-entendons par
nombres réels un ensemble d'objets satisfaisant à certains axiomes.
Il existe d'autres constructions de la théorio des nombres réels où
l'on démontra les propositions que nous choisissons pour axiomes
en partant (dans un exposé rigoureux, par exemple dans le cours
connu de Landau) das axiomes des nombres naturels et de ceux de
la théorie des ensembles. Dans les constructions des deux types, il
manqua un élément essentiel, à savoir la démonstration de la noncontradiction
des axiomes. 11 semble que ce défaut soit propre à
toutes les constructions modernes de la théorie des nombres réels.
Le problème est loin d'être technique, il heurto les bases mêmes
de la pensée mathématique. Dans ce contexte, le choix du point de
départ pour le schéma général de l'analyse devient inessentiel, et
nous le voulons le plus proche possible des constructions analytiques
proprement dites.
Dans le chapitre 2, après une brève incursion dans In théorie
des ensembles, nous introduisons les notions de structure mathématique
et d'isomorphisme. En tant qu'illustration, nous établissons
l'unicité (à un isomorphisme près) de la structure des nombres
réels. Nous introduisons également les structures de 1 'espace n-dimensionnel
et du corps des nombres complexes.
Le chapitre 3 est consacré à la théorie des espaces métriques.
Dans le chapitre 4, nous développons la théorie générale des limites.
Cette théorie a pour base, d'une part, un ensemble E sur lequel on
choisit une direction (c.-à-d. une famille ordonn~c d'ensembles
d'intersection vide qui représente une formation moins génér11le
que le filtre de Cartan mais bien suffisante pour l'analyse) et, d'autre
part, une fonction définie sur l'ensemble E à valeurs dans un espace
.\\'ANT·PROI'OS
rnétriqu!'. Cc schéma rmbrasso tous les lypes cie limites considorés
daus l'analyse, à partir cie la limite d'une suite numérique jusqu'à
la dt• rivée et l'int6grnle.
Dnn~ Je chapitre 5, après }().~ théorèmes sur la continuité des
fonctions nulll!\ricj!IOS sur l'Axe r~el. nous introduisons, à l'aide
d'~quntio11s fouctionnelll.'s, le Jogurithme (dont l'invrrsion conduit
à l'exponentielle) et les fonctions trigonométriques. L'algèbre et
ln topologie des nombres comploxes ainsi que lo throrèuto d'existence
cl 'une racine d'un polynôme ù corfficicn~ complexes sont considérés
on ln nt qu'applications.
Dans le chapitre 6, nous envisageons la théorie dos séries (numé·
riquos, de puissances, fonctionnelles).
Ln deuxième partie du livre s'ouvre par le chapitra 7 sur ln
dl: ri véc. Les chapitres 7 et 8 contiennent Je calcul différentiel proprement
dit. La formule ct la série de Taylor amènent 1\ l'extension
noturellCl de l'analyse réelle sur le domaine complexe.
Dans le chapitre !l, à côté de Jo théorie g6néralo do l'intégrale
de Ricm11nn, on en trouve quelques applications. Pour le développement
ultl'rieur de l'analyse. la techniquo des fonctions analytiques
cie vient imlispensable, ct nous 1 'exposons dons Jo chapitre 10. Les
fonctions analytiques s'avèrent, en pllrticulier, très utiles pour le
calcul ùes intégrales impropres auxquelles on consacre le chapitre
suivant.
Le systàme de numèrotntion devient clair on considérant l'exemple
suivant: le symbole 10.37. b veut dire« chapitre 10, paragraphe
3, numl'ro 7, point h >), D'uno manière analogue, ln formule 10.37 (4)
cst In quatrième formule du numc!ro 10.37. Dans les limites d'un
numéro, les formules sont numérotées dans J'ordre naturel. Les
figures ct les exercices sont numéro los dans les limites cl 'un chapitre.

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