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Analyse Mathematique. Fonctions D’une Variable. Tome 1, 1e Et 2e Partie Mir ( 1978) | G. Chilov

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Analyse Mathematique. Fonctions D’une Variable. Tome 1, 1e Et 2e Partie Mir ( 1978)
Original Title Analyse Mathematique. Fonctions D’une Variable. Tome 1, 1e Et 2e Partie Mir ( 1978)
Author G. Chilov
Publication date

Topics Analyse Mathematique, integrale de Riemann, équations différentielles, la théorie des équations intégrales, théorio des nombres, théorie des ensemble, théorie générale des limites, topologie, calcul différentiel, théorie des séries
Publisher Editions Mir
Collection mir-titles, additional_collections
Language French
Book Type EBook
Material Type Book
File Type PDF
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Support Mobile, Desktop, Tablet
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PDF Quality: Good
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Price 0.00
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L’Analyse est un vaste domaine des mathĂ©matiques liĂ© aux
notions da fonction, de dĂ©rivĂ©e at d’int6grale. A l’heure actuelle, ella embrassa nombra da domaines plus restreints: Ă©quations diffĂ©rentielles (ordinaires et Ă  dĂ©rivĂ©es partielles), Ă©quations intĂ©grales,
fonctions de variable complexe, géométrie différentielle,
calcul des variations et d’autres. Mais t11ndls qua la con tanu da
l’analyse mathĂ©matique peut ĂŞtre considĂ©rĂ© comme formĂ©, les
opinions sur sa structure subissent d’importants changements.
Dans la cours classique des annĂ©es 1920 de E. Goursat, toute l’analyse
est présentée comma sur uno immense plaine, à un même niveau
d’abstraction, dans les livres d’aujourd’hui, on prĂŞta une grande
attention Ă  la misa en relief des t Ă©tages t d’abstraction, c’est-Ă -dire
des « structures t (Bourbaki) différentes qui caractérisent les bases
mathématlco-logiques des constructions Initiales. Le retour aux
bases Ă©claircit l’essentiel du problème en libĂ©rant le mathĂ©maticien
de la nĂ©cessitĂ© d’Ă©tudier les traits individuels de l’objet, ca qui,
Ă  son tour, rend possible l’Ă©tude de nouveaux objets offrant une
autre individualité mais la même construction de fond.
Ainsi, on connaissait la dĂ©monstration de l’existence et de
l’unicitĂ© de la solution d’une Ă©quation diffĂ©rentielle due Ă  Picard
et basée sur la méthode des approximations successives de la fonction
cherchĂ©e sur un intervalle par d’autres fonctions obtenues selon des
règles donnĂ©es. Ensuite, on a formulĂ© (Banach et d’autres savants)
ln« mĂ©thode du point fixe • que l’on a appliquĂ©e Ă  la dĂ©monstration
du même théorème. Cette méthode a découvert la partie essentielle
de la dĂ©monstration de Picard : l’existence d’un opĂ©rateur contractant
dans un espace mĂ©trique. Et tout l’entourage, fonctions numĂ©riques
sur un intervalle, Ă©quation diffĂ©rentielle, s’est avĂ©rĂ© peu
important. Finalement, la • méthode du point fi,~:e ta non seulement
rendu la démonatration du théorème de Picard plus claire, plus
t géométrique l), mais a aussi donné une possibilité de démontrer,
en dĂ©veloppant son idĂ©e, une quantitĂ© do th6orèmes d’existence oĂą
il ne s’agit mĂŞme pas de fonctions sur un intervalle ni d’Ă©quations
6 AVANT-PROPOS
ditfĂ©r~ntielles. On peut en dire de mĂŞme d~ la gĂ©omĂ©trie de 1 ‘espace
d’Hilbert, du calcul des fonctionnelles diffĂ©rentiabi&lt,’S, etc.
Dons lo pr~sent li vrc, nous oxposons les concepts fondamentaux
de l’analyse mathĂ©matique relativement aux fonctions d’une varinble.
Mais nous attribuons au terme «une variable~ un sens élargi.
C’est que, pour certaines notious fondamentales do l’nnolyse, telles
que limite et continuitĂ©, la distinction entre les cas classiques d’une
et de plusieurs variables n’est pas si im.portante, pour les chapitr~&gt,s
correspondants, nous préférons donc un niveau optimal de généralité
en sous-entendant par« une vnrinblo &gt,)un point d’un espace mĂ©trique,
par oxomple. Cependant, lorsqu’on arrive â la dĂ©rivation et Ă  l’intĂ©gration,
ln différence entre les cas classiques mentionnés devient
sensible, ~t nous nous bornons alors 11ux fonctions ~ vraiment t
d’une variable, d’ai.Jord rĂ©elle, puis complexe. Nranmoins, ce n’est
qu’au dĂ©but que les valeurs de ces fonctions sont numĂ©riques,
par la suite elles deviennent vectorielles, mĂ´me appartenant Ă  un
espace normĂ©, ce qui offre un vaste champ d’applications. Les fonctions
analytiques font dans notre exposĂ© partie intĂ©grante de l’analyse.
Nous ne touchons pas, dans ca livre, nu grand domaine du
calcul différentiel et intégral d.es fonctions de plusieurs variables
qui demanderait encore un volume au moins.
Nous n’avons pas inclus dans lo livro l’intĂ©grale de Lebesgue,
pareo que, dans les problèmes analytiques que l’on traite ici, on
ne rencontre que les fonctions continues (ou possédant uu nombre
fini de points de discontinuitĂ©) pour l ‘int~gration desquelles l ‘intĂ©grale
de Riemann est bien suffisante. En cc qui concerne l!’s problèmes
plus compliquĂ©s do l’analyse, par exemple la thĂ©orie Ăąes
Ă©quations intĂ©grales, le rĂ´le dĂ©cisif de l’intĂ©grale cle Lebesgue est
incontestable. ~lnis un exposĂ© d.e la thĂ©orie Ăąe l’intĂ©grale de Lebesgu(‘
darut le prĂ©sent livre risquerait de surcharger l’attontion rlu lecteur
par les nuances spécifiques de la théoric des fonctions de variable
réelle et de celle de la mesure.
Bien que, formellement, le livre n’exige que les connaissances
du cours secondaire, il serait bien si le lecteur s’Ă©tait fnmiliarisĂ©
avec la construction de graphiques, l’intĂ©gration, la dĂ©civatlon
et leurs applications géométriques les plus simples. Le présent
ouvrage n’est pas un manuel d’analyse mathĂ©matique: il est plutĂ´t
destiné à susciter la réflexion, à faire comparer les aspects différents
A V ANT-PROPOS 7
de la théorie. Certains endroits peuvent être utilisés dans un cours
ou un séminaire de type approfondi. Les exercices poursui vent le
mĂŞme but, aucun d’entre eux ne vise Ă  travailler la technique (les
recueils usités contiennent de tels exercices en quantité suffisante),
mais tous illustrent et développent la théorie générale exposée.
Cet ouvrage est composé de trois parties. La première (t: Introduction
Ă  l’analyse •) et la deuxième («Calcul diffĂ©rentiel et intĂ©gral~&gt,)
sont à la disposition du lecteur, la troisième partie t: Cbapitres
choisis de l’analyse moderne 11 paraĂ®tra en français fin 1973.
Dans la première partie, l’exposĂ© systĂ©matique commence par
la théorie des nombres réels (chapitre 1). Nous sous-entendons par
nombres rĂ©els un ensemble d’objets satisfaisant Ă  certains axiomes.
Il existe d’autres constructions de la thĂ©orio des nombres rĂ©els oĂą
l’on dĂ©montra les propositions que nous choisissons pour axiomes
en partant (dans un exposé rigoureux, par exemple dans le cours
connu de Landau) das axiomes des nombres naturels et de ceux de
la théorie des ensembles. Dans les constructions des deux types, il
manqua un élément essentiel, à savoir la démonstration de la noncontradiction
des axiomes. 11 semble que ce défaut soit propre à
toutes les constructions modernes de la théorie des nombres réels.
Le problème est loin d’ĂŞtre technique, il heurto les bases mĂŞmes
de la pensée mathématique. Dans ce contexte, le choix du point de
dĂ©part pour le schĂ©ma gĂ©nĂ©ral de l’analyse devient inessentiel, et
nous le voulons le plus proche possible des constructions analytiques
proprement dites.
Dans le chapitre 2, après une brève incursion dans In théorie
des ensembles, nous introduisons les notions de structure mathématique
et d’isomorphisme. En tant qu’illustration, nous Ă©tablissons
l’unicitĂ© (Ă  un isomorphisme près) de la structure des nombres
rĂ©els. Nous introduisons Ă©galement les structures de 1 ‘espace n-dimensionnel
et du corps des nombres complexes.
Le chapitre 3 est consacré à la théorie des espaces métriques.
Dans le chapitre 4, nous développons la théorie générale des limites.
Cette thĂ©orie a pour base, d’une part, un ensemble E sur lequel on
choisit une direction (c.-Ă -d. une famille ordonn~c d’ensembles
d’intersection vide qui reprĂ©sente une formation moins gĂ©nĂ©r11le
que le filtre de Cartan mais bien suffisante pour l’analyse) et, d’autre
part, une fonction dĂ©finie sur l’ensemble E Ă  valeurs dans un espace
.\\’ANT·PROI’OS
rnĂ©triqu!’. Cc schĂ©ma rmbrasso tous les lypes cie limites considorĂ©s
daus l’analyse, Ă  partir cie la limite d’une suite numĂ©rique jusqu’Ă 
la dt• rivĂ©e et l’int6grnle.
Dnn~ Je chapitre 5, après }().~ théorèmes sur la continuité des
fonctions nulll!\ricj!IOS sur l’Axe r~el. nous introduisons, Ă  l’aide
d’~quntio11s fouctionnelll.’s, le Jogurithme (dont l’invrrsion conduit
Ă  l’exponentielle) et les fonctions trigonomĂ©triques. L’algèbre et
ln topologie des nombres comploxes ainsi que lo throrèuto d’existence
cl ‘une racine d’un polynĂ´me Ăą corfficicn~ complexes sont considĂ©rĂ©s
on ln nt qu’applications.
Dans le chapitre 6, nous envisageons la théorie dos séries (numé·
riquos, de puissances, fonctionnelles).
Ln deuxième partie du livre s’ouvre par le chapitra 7 sur ln
dl: ri véc. Les chapitres 7 et 8 contiennent Je calcul différentiel proprement
dit. La formule ct la sĂ©rie de Taylor amènent 1\ l’extension
noturellCl de l’analyse rĂ©elle sur le domaine complexe.
Dans le chapitre !l, Ă  cĂ´tĂ© de Jo thĂ©orie g6nĂ©ralo do l’intĂ©grale
de Ricm11nn, on en trouve quelques applications. Pour le développement
ultl’rieur de l’analyse. la techniquo des fonctions analytiques
cie vient imlispensable, ct nous 1 ‘exposons dons Jo chapitre 10. Les
fonctions analytiques s’avèrent, en pllrticulier, très utiles pour le
calcul ùes intégrales impropres auxquelles on consacre le chapitre
suivant.
Le systĂ me de numèrotntion devient clair on considĂ©rant l’exemple
suivant: le symbole 10.37. b veut dire« chapitre 10, paragraphe
3, numl’ro 7, point h &gt,), D’uno manière analogue, ln formule 10.37 (4)
cst In quatrième formule du numc!ro 10.37. Dans les limites d’un
numĂ©ro, les formules sont numĂ©rotĂ©es dans J’ordre naturel. Les
figures ct les exercices sont numĂ©ro los dans les limites cl ‘un chapitre.
Analyse Mathematique. Fonctions D’une Variable. Tome 1, 1e Et 2e Partie Mir ( 1978)
      
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Analyse Mathematique. Fonctions D’une Variable. Tome 1, 1e Et 2e Partie Mir ( 1978)
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