Les Méthodes De La Physique Statistique | A. Akhiezer, S. Péletminski

Un grand merci à Henri Leveque pour le scan original.

Akhiezer, Péletminski - Les Méthodes de la Physique Statistique - Mir 1980

(The Methods of Statistical Physics)

 Traduit du russe par Anne Sokova

 

 La monographie de A. Akhiezer et S. Péletminski que nous pro­ posons au lecteur est consacrée à l’exposé des méthodes de la méca­nique statistique. Cet ouvrage occupera sans aucun doute une place toute particulière parmi les monographies de mécanique statistique, car les auteurs utilisent une même méthode pour trouver des équa­tions cinétiques pour les systèmes classiques et quantiques et des équations de la physique macroscopique, c’est-à-dire les équations de l’hydrodynamique pour un liquide ordinaire et superfluide et les équations de l’électrodynamique macroscopique.

 Cette méthode d’étude de questions apparemment si différentes est basée sur l’idée d’une description abrégée des états hors d’équi­libre des systèmes macroscopiques. La description abrégée apparaît tout naturellement au cours de l’évolution des systèmes physiques ayant un grand nombre de degrés de liberté, et il est donc naturel et judicieux d’utiliser cette description des états hors d’équilibre également pour obtenir les équations cinétiques et les équations de l’hydrodynamique. Si de plus le système est caractérisé par une interaction faible entre les particules ou par une densité faible de particules, l’étape hydrodynamique de l’évolution est précédée de l’étape cinétique et celle-ci peut être étudiée à l’aide des équations cinétiques. Par contre, si l’interaction entre les particules n’est pas faible, et que leur densité soit grande, il n’y a pas d’étape ciné­ tique de l’évolution, l’étape hydrodynamique apparaît immédiatement et peut être étudiée à l ’aide des équations de l ’hydrodyna­mique.

 A partir de la même conception d’une description abrégée, les auteurs établissent une théorie basée sur des principes généraux, tel que le principe d’affaiblissement des corrélations et les relations ergodiques liées aux particularités de la structure des hamiltoniens et à leurs propriétés de symétrie.

 Les auteurs prêtent une attention particulière à l’étude des systè­mes quantiques ; l’exposé des problèmes de la statistique quantique est précédé d’un exposé clair des fondements de la mécanique quan­tique comprenant la théorie de la mesure.

 Les auteurs utilisent également la méthode d’une description abrégée pour l’étude du comportement asymptotique des grandeurs universelles telles que les fonctions de Green d'équilibre à deux temps.

 Les auteurs prêtent une grande attention à l'étude des systèmes dont la symétrie a été spontanément perturbée, en particulier, aux systèmes à symétrie de gradient perturbée.

 L'appareil mathématique utilisé est clair et concis tant dans son ensemble que pour les questions particulières. On peut, par exemple, noter l’étude des problèmes liés à l’entropie d’un gaz faiblement non parfait, aux développements quantiques du viriel de la théorie des équations cinétique, etc.

 Mais le lecteur trouvera dans cette monographie non seulement l’exposé des fondements formels de la mécanique statistique, mais également un grand nombre d’applications concrètes importantes donnant une bonne illustration de la théorie du mouvement brow­ nien, la théorie du ralentissement des neutrons, la théorie des phé­nomènes de transfert dans les cristaux et certaines questions de la théorie statistique des plasmas.

 L’ouvrage réalise un équilibre judicieux entre la physique et les mathématiques, ce qui facilite la lecture et la compréhension. Ce livre intéressant et précieux sera sans aucun doute très utile à un grand nombre de lecteurs, physiciens et mathématiciens, effec­tuant des recherches dans le domaine de physique statistique.

 

 

 

 Préface 5

 

 Préface des auteurs 7

 

Chapitre premier. ÉQUATIONS CINÉTIQUES POUR LES SYSTÈMES CLASSIQUES 11

 

§ 1.1. Fonctions de distribution à particules multiples 11

 

 1.1.1. Equation cinétique de Boltzmann (11). 

 1.1.2. Den­ sité de probabilité des points de phase (15). 

 1.1.3. Equations pour les fonctions de distribution à particules multi­ples (17).

§ 1.2. Equations intégrales pour les fonctions de distribution à particules multiples 21  

 1.2.1. Equations intégrales pour les fon tions de distribu­tion a l'étape cinétique ce l'evolution(21).  1.2.2. Théo­rie des perturbations pour les systèmes à densité faible des particules (25).

 

§ 1.3. Equations cinétiques et phénomènes de transfert dans les gaz 27

 

 1.3.1. Equation cinétique dans le cas d’une interaction faible (27). 

 1.3.2. Equation cinétique pour le cas des densités faibles (29). 

 1.3.3. Théorie des phénomènes de transfert dans les gaz (33).

§ 1.4. Equations cinétiques pour les particules en interaction avec le milieu ambiant 37

 

 1.4.1. Equation différentielle de Fokker-Planck pour les processus lents (37). 

 1.4.2. Théorie du mouvement brownien (40). 

 1.4.3. Théorie du ralentissement des neutrons (49).

§ 1.5. Mécanique statistique des systèmes de particules chargées 56

 1.5.1. Equation cinétique pour les électrons du plasma (56). 

 1.5.2. Théorie des écrans (58). 

 1.5.3. Equation de dispersion pour les ondes dans un plasma (64).

§ 1.6. Irréversibilité des processus macroscopiques et hypothèse ergodique 67

 1.6.1. Réversibilité des mouvements mécaniques et irré­ versibilité des processus macroscopiques (67).   1.6.2. Hypo­ thèse ergodique (74).

 Chapitre 2. PRINCIPES GENERAUX DE LA MECANIQUE STA­TISTIQUE DES SYSTEMES QUANTIFIÉS 80

§ 2.1. Principes de la mécanique quantique. 80 

 2.1.1. Etats purs et mélanges (80). 

 2.1.2. Loi dynamique de la mécanique quantique (83). 

 2.1.3. Processus de la mesure (89).

$ 2.2. Quantification secondaire 92 

 2.2.1. Opérateur de création et d'annihilation des parti­cules (92). 

 2.2.2. Opérateurs des grandeurs physiques (97).

§ 2.3. Symétrie des équations de la mécanique quantique 103 

2.3.1. Invariance des équations de la mécanique quantique vis-à-vis des transformations continues (103).

2.3.2. In­ variance des équations de la mécanique quantique par rap­port à la réflexion spatiale et à l’inversion du temps (112).

 

§ 2.4. Principe d’affaiblissement des corrélations et relations ergodiques pour les systèmes quantiques. 115 

 

 2.4.1. Principe d ’affaiblissement des corrélations (115).

 2.4.2. Equations du mouvement (121). 

 2.4.3. Relations ergodiques pour les systèmes quantiques (124).

Chapitre 3. THÉORIE DES ÉTATS D’EQUILIBRE DES SYSTÈMES QUANTIQUES 130

 

§ 3.1. Théorie des gaz quantiques faiblement non parfaits 130 

 

 3.1.1. Distributions de Bose-Einstein et de Fermi-Di­rac (130). 

 3.1.2. Théorie thermodynamique des perturba­tions (135). 

 3.1.3. Développements quantiques du viriel (139).

 

 § 3.2. Superfluidité d’un gaz de bosons et de fermions 145

 

 3.2.1. Valeurs quasi moyennes (145). 

 3.2.2. Théorie de la superfluidité d’un gaz de Bose (150). 

 3.2.3. Théorie de la superfluidité d’un gaz de Fermi et phénomène de supraconduction (157).

Chapitre 4. METHODES D’ÉTUDE DES ÉTATS HORS D'EQUI­ LIBRE DES SYSTÈMES QUANTIFIÉS  171

§ 4.1. Réaction d’un système à une perturbation extérieure 171 

4.1.1. Opérateur statistique des systèmes dans un champ extérieur faible (171). 

4.1.2. Propriétés des fonctions de Green (176).

 

§ 4.2. Théorie généralisée des processus de relaxation 181 

 4.2.1. Equation intégrale pour l’opérateur statistique dans le cas d’une interaction faible (181).

 4.2.2. Equation intégrale pour l’opérateur statistique dans le cas des petites hétérogénéités (189).

 4.2.3. Equation intégrale pour l’opérateur statistique des systèmes hétérogènes compte tenu des interactions faibles (198).

 

§ 4.3. Sommation des termes séculaires. 202:

 4.3.1. Opérateurs asymptotiques (202). 

 4.3.2. Equation fonctionnelle pour les opérateurs asymptotiques (208). 

 4.3.3. Sommation des termes séculaires et opérateur sta­tistique grossier (213).

 

§ 4.4. Comportement asymptotique des fonctions de Green dans le domaine des basses fréquences 215 

 4.4.1. Linéarisation des équations pour l'opérateur sta­ tistique (215). 

 4.4.2. Comportement asymptotique des fonc­tions de Green dans le domaine dos fréquences basses et

 des vecteurs d'onde petits (219)

 Chapitre 5. ÉQUATIONS CINETIQUES POUR LES SYSTÈMES QUANTIQUES 228

 § 5.1. Equations cinétiques dans le cas d'une interaction faible 228 

 

 5.1.1. Etape cinétique de l'évolution (228). 

 5.1.2. Equa­tions cinétiques pour les gaz de bosons et de fermions en seconde approximation de la théorie des perturbations (235)

 5.1.3. Son nul (243)

 5.1.4. Intégrale des collisions en troi­sième approximation de la théorie des perturbations (245).

 5.1.5. Entropie d'un gaz faiblement non parfait (250).

§ 5.2. Equation cinétique compte tenu des seules interactions binaires 262 

 5.2.1. Opérateur statistique à l'étape cinétique de l'évolu­tion (262). 

 5.2.2. Développement de l'intégrale des collisions en série suivant les puissances de la fonction de distribution à une particule (264). 

 5.2.3. Développement quantique du viriel de l'intégrale des collisions (268).

 

§ 5.3. Equations cinétiques pour les particules et le rayonne­ment en interaction avec le milieu extérieur 272  

 5.3.1. Equation cinétique pour des particules en interac­tion avec le milieu (272). 

 5.3.2. Equation cinétique pour les photons dans un milieu (277).

 

§ 5.4. Equations cinétiques pour les particules dans un champ extérieur et fonctions de Green en approximation cinétique 282 

 5.4.1. Equation intégrale pour l'opérateur statistique (282).

 5.4.2. Equations cinétiques pour les particules chargées dans un champ électromagnétique (288). 

 5.4.3. Relation entre le comportement asymptotique des fonctions de Green dans le domaine des basses fréquences et les équations cinétiques (293). 

 5.4.4. Equations intégrales pour la défi­nition de l'expression asymptotique basse fréquence des fonctions de Green d'un système de Bose dégénéré (301).

 5.4.5. Fonctions de Green dans le cas d’une interaction faible entre les quasi-particules (307). 

 5.4.6. Fonctions de Green à une particule des systèmes de Bose dégénérés en approximation cinétique (313).

 § 5.5. Intégrales des collisions pour les phonons et théorie de la conductibilité thermique des corps diélectriques 321

 

Chapitre 6. ÉQUATIONS DE LA PHYSIQUE MACROSCOPIQUE 327

§ 6.1. Equations de l’hydrodynamique d'un liquide normal 327 

 6.1.1. Equations de l’hydrodynamique d’un liquide par­ fait (327). 

 6.1.2. Equations de l’hydrodynamique d’un liquide non parfait (331). 

 6.1.3. Expression asymptotique basse fréquence des fonctions de Green de l’hydrodynamique (339).

 

§ 6.2. Equations de l'hydrodynamique d’un liquide superfluide 342 

 6.2.1. Flux des grandeurs hydrodynamiques (342). 

 6.2.2. Equation du mouvement pour l'opérateur statistique d’un liquide superfluide (350). 

 6.2.3. Equations de l'hy­drodynamique d'un liquide superfluide parfait (354).

 

§ 6.3. Equations de l’électrodynamique macroscopique 361 

 6.3.1. Equations de Maxwell-Lorentz pour les opérateurs des champs électromagnétiques (361). 

 6.3.2. Réponse du système à une excitation électromagnétique extérieure (365). 

 6.3.3. Relation entre les susceptibilités internes et exter­nes (373).

Bibliographie 379