Méthodes De Résolutions Des Problèmes Mal Posés | A. Tikhonov, V. Arsénine

Un grand merci à Henri Leveque pour le scan original.

Traduit du russe par Vladimir Kotliar

Parmi"les problèmes mathématiques, on distingue une classe de problèmes dont les solutions sont instables vis-à-vis de faibles varia­tions des données initiales : quelque petite que soit la variation des données initiales, elle risque d’amener des variations aussi grandes que l’on veut de la solution. On dit alors que le problème est mal posé.

Cette instabilité, lorsque les données initiales ne sont connues qu’avec un certain degré d’approximation, fait que la solution appro­chée s’avère être non unique (dans les limites de précision que l’on s’est fixées) et qu’elle est difficile à interpréter. En raison de ces inconvénients, on persistait à croire qu’un problème mal posé était dépourvu de toute utilité pratique.

On connaît cependant bon nombre de problèmes mal posés, appar­tenant tant aux mathématiques classiques qu’à des branches appli­quées les plus diverses et dont l’importance pratique est incontesta­ble. Cela donne une idée du caractère vraiment universel de la classe de problèmes considérée. Déjà en regardant les titres des divisions et les exemples proposés dans ce livre, l’on se rend compte de la largeur de cette classe et de la multiplicité des utilisations possibles. Parmi les problèmes d’importance particulière, signalons les ques­tions liées à la mise au point des systèmes automatiques de traite­ ment mathématique des résultats des expériences (l’interprétation y comprise), les problèmes de la commande optimale et l’établisse­ ment de projets optimaux de systèmes.

Une étape essentielle du traitement des données expérimentales est la résolution de problèmes instables vis-à-vis de faibles variations des données initiales: aussi l’importance des méthodes de résolu­tion de pareils problèmes ne saurait-elle être mise en doute. On demande par ailleurs que les solutions approchées obtenues en partant des données initiales approchées soient insensibles aux faibles variations de ces dernières.

Au cours de ces dernières années, on a vu paraître dans différentes revues scientifiques un grand nombre de travaux consacrés à ces questions. On attendait un livre qui, entièrement consacré aux

 méthodes de résolution de problèmes mal posés, pût initier un audi­toire plus large aux idées et questions relatives à la construction des solutions de ces problèmes. Tel est justement le but que nous pour­ suivons en soumettant aujourd’hui le fruit de nos efforts à l’atten­tion du lecteur.

 

On sait que les données initiales de problèmes mal posés, obte­nues le plus souvent comme résultats de mesures, sont entachées d’erreurs accidentelles. Pour cette raison, la construction des solu­tions approchées et l’estimation de l’erreur qui leur est propre sont possibles tant par application d’un principe déterministe que d’un principe probabiliste, ceci selon la nature de l’information disponible à l’origine. Dans ce livre, nous nous bornons en général au principe déterministe (sauf dans les chapitres IV et V). Le principe proba­biliste est traité, par exemple, dans [63, 64, 87, 100, 105, 124, 128, 129, 179 à 181, 184, 217].

Nous proposons ici, pour la construction des solutions de problè­mes mal posés, une méthode de régularisation que nous avons avan­cée auparavant dans [156 à 161].

Nous n’avons pas cherché à faire la revue de toute la littérature parue à ce jour consacrée aux problèmes mal posés : le lecteur trou­vera une bibliographie complète, par exemple, dans [122].

Ce livre est destiné aux étudiants et boursiers de thèse en physique et mathématique, ainsi qu’aux ingénieurs et chercheurs intéressés par les questions du traitement et de la planification des expériences. Nous tenons à exprimer toute notre reconnaissance à A. Loukchine pour ses abondantes et précieuses observations.