Recueil De Problèmes D’optimisation | V. Alexéev, E. Galéev, V. Tikhomirov

De nos jours, les méthodes d'optimisation jouent un rôle extrê- mement important dans l'économie, la technique, les sciences natu- relles et dans les mathématiques elles-mêmes, ce qui rend inconcevable une instruction mathématique qui laisserait de côté les élé- ments de la théorie de l'optimisation.

Cette théorie est en plein développement. Les cours de mathé- matiques d'il y a à peine un quart de siècle ne contenaient que deux de ses branches: les extrémums des fonctions de plusieurs variables et le calcul des variations. Depuis, de nouvelles disciplines ont vu le jour et se sont affirmées: analyse convexe, programmation linéaire et non linéaire, commande optimale. A présent, elles sont incluses dans les cours de mathématiques supérieures des établissements d'enseignement technique supérieur et des universités. L'apparition de ces nouvelles disciplines doit nécessairement se faire sentir dans l'enseignement concernant aussi bien des branches traditionnelles de la théorie des problèmes d'extrémum que certaines parties de l'analyse fonctionnelle classique.

Il nous semble qu'indépendamment du niveau auquel est pra- tiqué l'enseignement des mathématiques, les éléments de la théorie des problèmes d'extrémum doivent occuper la place qui leur est due. C'est justement le but que se fixent les auteurs du présent ouvrage.

Ce recueil de problèmes inclut des branches importantes de la théorie des problèmes d'extrémum: programmation mathématique (§ 2), calcul des variations classique (§§ 5 à 7), commande optimale (§ 10). Ces paragraphes constituent la base du recueil. Les sous- titres << Position du problème >> et << Règle de résolution >> des para- graphes susmentionnés, de même que les exemples qui y sont traités, ne nécessitent pas de connaissances spéciales autres que les fonde- ments de l'analyse mathématique. Ils donnent toutefois la possi- bilité de résoudre la plupart des problèmes proposés. Ainsi, les solutions de la grande majorité des problèmes peuvent être trouvées en utilisant un minimum de connaissances dans le domaine du calcul différentiel et intégral.

Dans les établissements d'enseignement supeneur où les cours de mathématiques sont approfondis, on pourra faire appel aux parties théoriques des paragraphes indiqués, se rapportant aux conditions nécessaires d'extrémum. Nous nous sommes efforcés d'exposer cette matière de la façon la plus méthodique. Dans les démonstra- tions présentées, on n'utilise que les éléments de base de l'analyse classique, parmi lesquels les théorèmes de la fonction réciproque et de la fonction implicite occupent une place de choix.

Pour le reste, la partie théorique de l'ouvrage concerne l'enseigne- ment universitaire. Le § 1 est dédié aux notions fondamentales et aux théorèmes de l'analyse fonctionnelle, à l'aide desquels on arrive à démontrer les théorèmes les plus importants de la théorie des problèmes d'extrémum. Ces mêmes notions et théorèmes forment la base de l'analyse convexe, dont les fondements sont exposés dans le § 3. Le rôle assigné à l'analyse convexe dans le cadre de la théorie générale des problèmes d'extrémum est mis en évidence dans les §§ 4 et 9. Cette matière peut être utilisée dans les cours spéciaux. Le § 8 concerne le problème général du calcul des variations classique, c'est-à-dire le problème de Lagrange.

Dans le § 12, on a tâché de montrer comment peuvent être utili- sés les éléments de la théorie des problèmes d'extrémum dans les cours d'algèbre, de géométrie, de même que dans divers travaux de recherche à caractère théorique et pratique.

Il convient de mentionner quelques particularités du présent ouvrage. Tout d'abord, il faut indiquer qu'il a été conçu suivant une méthodologie unique basée sur le principe d'étude des problèmes d'extrémum qui remonte à Lagrange et qui est exposé dans l'introduction. Après avoir assimilé ce principe, on peut aborder tout de suite la résolution des problèmes de n'importe quelle partie de l'ouvrage. La section récapitulative (§ 11) est justement adaptée à ces méthodes de résolution des problèmes d'extrémum.

Une autre particularité importante de ce livre est constituée par le fait que nous nous sommes efforcés de présenter une étude exhaustive des problèmes. Pour cette raison, nous avons accordé aux conditions suffisantes une plus grande attention qu'on ne le fait habituellement.

Enfin, nous avons tâché de mettre en évidence la fécondité des nouvelles méthodes de la théorie de l'analyse convexe, de la programmation convexe et de la commande optimale.

Le recueil contient environ 700 problèmes qui sont pratiquement tous dotés de réponses. Certains d'entre eux sont accompagnés du mode de leur résolution.

Nous devons signaler avec le plus vif regret la disparition dans la plénitude de ses forces créatives de notre coauteur V. Alexéev survenue au début des travaux de conception du présent livre. Le professeur V. Alexéev était bien connu pour sa fructueuse activité exercée à la faculté de mécanique et des mathématiques de l'Université de Moscou. La conception globale de l'ouvrage est l'œuvre· de V. Tikhomirov, alors que les exposés théoriques ont été rédigés. par un effort commun des auteurs; le choix et la rédaction des problèmes sont pour la plupart dus à E. Galéev.

Nous remercions d'avance ceux de nos lecteurs qui voudront bien nous communiquer leurs suggestions relatives à la conception, au plan et au contenu du présent ouvrage.