Commande Optimale Des Systèmes Discrets | Vladimir Boltianski

Ainsi, le livre proposé à l'attention du lecteur est nne première tentative d'exposer de façon systématique la théorie de commande optimale discrète. Le livre est écrit dans une optique entièrement mathématique; on n'y considère pas les applications. Mais même en ce qui concerne la théorie mathématique des processus optimaux discrets, le livre ne prétend pas être exhaustif. Par exemple, on n'y aborde aucunement les processus discrets à nombre d'itérations infini, les questions d'approximation des processus optimaux con- tinus par les processus discrets, les méthodes numériques dans les problèmes de commande discrète. Certaines de ces questions sont traitées dans le livre de N. Moïsséev, Méthodes numériques de la théorie des systèmes optimaux (Editions << Naonka >>, 1971).

Quelques mots sur les méthodes qui servent de fondement dans le présent ouvrage. Il y en a deux. La première est liée a11x problè- mes de séparation des systèmes de cônes convexes. Elle fut pro- posée dans les travaux de A. Milioutine et A. Doubovitski. Dans le livre, cette méthode est exposée sous une forme beaucoup plus générale (n° 32). Notre exposition diffère de la méthode de Miliou- tine-Doubovitski, qui supposaient que tous les cônes, sauf un, sont solides, tandis que nous considérons le cas général.

La deuxième méthode employée dans ce livre (n° 35) est liée aux notions de topologie (plus précisément, à la théorie des inter- sections, qui remonte aux travaux du mathématicien américain S. Lefschetz). Il faut faire la remarque suivante au sujet de cette méthode. Dans la préface du livre cité ci-dessus, B. Pchénitchny qualifia la première démonstration du principe dn maximnm de «sensationnelle dans une certaine mesure >>. Tl me semble que la démonstration apparaît insolite à cause des idées topologiques que l'on y emploie, idées que la majorité des spécialistes en mathémati- ques appliquées considère toujours avec circonspection. J'ai essayé de montrer ici que les méthodes topologiques sont très 11tiles dans la théorie de commande mathématique et permettent d'obtenir des résultats plus profonds et plus délicats. Néanmoins, le lecteur auquel les considérations topologiques seraient étrangères, trouvera des indications qui lui permettront de rester dans le cadre des méthodes d'analyse classiques.