La troisième partie du livre • Fonctions d'une variable t es basée sur les mêmes principes que les deux premières pricédemment parues. Ils sont exprimés dans l'avant-propos du premier tome. La numérotation des chapitres du présent volume (12-16) continue celle du précédent (1-11).
Dans la troisième partie, le rôle principal appartient au chapi- tre 12 «Structures fondamentales de l'analyse 11 où l'on considère les espaces vectoriels, les espaces métriques (contrairement au chapitre 3 de la première partie, ici ce sont des espaces fonctionnels, et non pas des ensembles de points dans un espace de dimension finie, qui en servent de modèles), les espaces normés, les algèbres
normées et, enfin, les espaces hilbertiens. Les algèbres normées sont appliquées à la théorie des opérateurs linéaires dans un espace normé; en particulier, le «calcul opérationnel t des fonctions ana- lytiques dans une algèbre normée, appliqué à l'algèbre des opérateurs linéaires, conduit à des théorèmes du genre de l'alternative de Fredholm. L'étude de l'espace vectoriel normé des suites bornées et celle des fonctionnelles sur cet espace sont liées aux notions do limite généralisée et de sommation généralisée des séries.
Dans le chapitre 13 t Equations différentielles ~. on établit les théorèmes principaux sur les solutions des équations différenliclJes ordinaires pour les fonctions à valeurs dans un espace normé. La solu- tion d'une équation linéaire à coefficient opératoriel constant s'exprime par l'exponentielle i'un opérateur; en l'explicitant nous obtenons les formules pour les solutions d'une équation linéaira à coefficients constants, d'un système d'équations de ce type et d'une équation d'ordre supérieur. Pour une équation linéaire à coefficient opératoriel variable, on construit la méthode de variation de la constante.
C'est essentiellement les séries de Fourier que l'on élodie dans le chapitre 14 « Développements orthogonaux ~ ; on considère de divers types de convergence et de sommabilité de ces séries.
Le chapitre 15 t Transformation de Fourier t, parallèlement à la théorie réelle ordinaire, traite des problèmes liés au domaine complexe, en particulier à la transformation de Laplace.
Dans le chapitre 16 « Courbes gauches t , nous expœons la théorie de la conrbure dans un espace à plusieurs dimensions.
Comme dans les deux premières parties, l'exposé est accompagné d'exercices. On trouve les réponses et les indications correspondantes à la fin du llvre.
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