Méthodes De Résolution Des Équations De Mailles | A. Samarski, E. Nikolaiev

La résolution numérique des équations différentielles de la phy­ sique mathématique par la méthode des différences finies s'opère en deux étapes: 1) on procède d’abord à l’approximation discrète de l’équation différentielle sur un maillage (expression du schéma aux différences) ; 2) on résout sur ordinateur les équations aux différences constituant des systèmes d’équations algébriques linéaires d’ordre élevé d’aspect spécial (mauvais conditionnement, structure en bandes de la matrice du système). Il n’est pas toujours rationnel d’appliquer à ces systèmes les méthodes générales de l’algèbre linéai­ re vu la nécessité de stocker un énorme volume d’information, de même qu’en raison des calculs laborieux que ces méthodes exigent. Pour la résolution des équations aux différences, on développe depuis longtemps des méthodes spéciales qui tiennent plus ou moins compte de la nature spécifique du problème et permettent d’obtenir la solution en un nombre moindre d’opérations, comparé à celui exigé par les méthodes générales de l’algèbre linéaire.

Le présent livre fait suite à celui de A. Samarski et V. Andréev « Méthodes aux différences pour équations elliptiques » étudiant une série de problèmes qui se rapportent à l’approximation discrète, à la construction d’opérateurs de différences et à l’appréciation de la vitesse de convergence des schémas aux différences pour des problèmes aux limites types de la variante elliptique.

Dans ce livre on n’étudie que les méthodes de résolution des équations aux différences. L’ouvrage est de fait divisé en deux parties. La première partie (ch. I-IV) est réservée à l’application des méthodes directes de résolution des équations aux différences, la seconde (ch. V-XV) à la théorie des méthodes itératives de résolu­tion des équations de mailles de forme générale et à leur application aux équations aux différences. Lors de l’utilisation des méthodes directes, un rôle important est attaché à la forme spéciale des équa­tions aux différences. Pour la résolution des équations triponctuelles unidimensionnelles, on s’adresse à différentes variantes dels méthode du balayage (balayage monotone, non monotone, cyclique, en flux, etc.).