Processus Aléatoirres Gaussiens | I. Ibrahimov, Y. Rozanov

Le présent ouvrage est essentiellement consacré à trois problèmes que nous étudierons dans le cas des processus gaussiens stationnaires. Tout d'abord, c'est la recherche des conditions de continuité (d'équi valence) absolue mutuelle des différentes distributions d'un segment de processus aléatoire et l'établissement des formules efficaces pour les densités des distributions équivalentes. Deuxièmement, c'est la description des classes des mesures spectrales correspondant à des processus réguliers, stationnaires au sens large ou strict (en particulier lier, satisfaisant à la condition bien connue de mélange intense *)) ainsi que des sous-classes qui se distinguent par la vitesse de mélange ge. Enfin, le troisième problème est la Pestimation de la valeur moyenne ne inconnue d'un processus aléatoire, qui, après soustraction de cette valeur moyenne, se trouve être stationnaire, c'est-à-dire le problème de la séparation d'un signal noyé dans un bruit stationnaire. De plus, l'ouvrage traite d'un certain nombre de problèmes auxiliaires (distributions dans les espaces hilbertiens, différentes propriétés des fonc ti échantillonnées, un certain nombre de théories de la théorie de variable complexe, etc.).

Le problème de l'équivalence des différentes distributions gausiennes de dimension infinie a su attirer l'attention de nombreux mathématiciens depuis 1958 (on peut trouver un exposé systématique des résultats obtenus dans [23] par exemple). Nous étudions le problème dans le cas des processus gaussiens stationnaires où nous espérons avoir obtenu des résultats définitifs.

Le second des problèmes mentionnés est étroitement lié aux questions ayant trait à la théorie ergodique des systèmes dynamiques gaussiens, à la théorie des prévisions des processus stationnaires et concerne (du point de vue probabiliste) la condition de dépendance faible du processus futur de son passé, dont l'exploitation système ti a permis de développer la théorie très fructueuse des théo rèmes limites dans le cas d'une dépendance faible (voir, par exemple, [14], [22]) ; la condition la plus connue de ce type est certain

* ) Le terme correspondant anglais est "a strong mixing condition". celle de mélange intense. Les problèmes apparaissant lors de l'étude des différentes conditions de régularité, dans le cas gaussien, conduisent à des problèmes particuliers d'approximation de la théorie spectrale linéaire. Les études poussées entreprises dans ce domaine ont donné une solution presque définitive du problème. L'ouvrage expose les résultats de ces études.

Enfin, le problème de l'estimation de la moyenne semble être le plus ancien et le meilleur étudiant de la statistique mathématique. On connaît deux méthodes traditionnelles de solution du problème : ou bien, connaissant la densité spectrale d'un bruit stationnaire on construit les meilleures estimations non biaisées, ou bien, quand ces données font défaut, on utilise la méthode des moindres carrés.

Nous proposons une classe générale d'estimations appelées « pseu - do-meilleures » qui englobe tant les estimations classiques des moins carrés que les meilleures estimations non biaisées. Nous en donnons les expressions explicites, trouvons les conditions de con sistance, les formules asymptotiques de la matrice de correction des erreurs, établissons les conditions d'efficacité asymptotique.

Il y a lieu de mentionner que les résultats concernant les conditions de régularité et l'estimation de la moyenne sont formulés en termes spectraux et sont automatiquement transposables (dans le cadre de la théorie linéaire) à des processus quelconques, stationnaires au sens large.

Pour mieux orienter le lecteur nous avons pris soin d'indiquer dans le texte les ouvrages fondamentaux auxquels il peut se référer utilement et dont il trouvera la liste à la fin du livre.