Quatre Cours De Mathématique | A. Markouchévitch

Un grand merci à Henri Leveque pour le scan original.

Traduit du russe par E. Bronina

Courbes remarquables 

Aires et logarithmes 

Suites récurrentes 

Nombres complexes et représentations conformes

Ce petit livre s’adresse principalement aux écoliers ainsi qu'aux adultes, désireux de continuer à s’instruire, dont les connaissances en mathématiques se bornent aux pro­ grammes de l’école secondaire. Le livre est constitué par des leçons faites aux écoliers des classes terminales de Moscou.

En préparant la leçon sur les « Courbes remarquables » pour la publication, l’auteur l’a toutefois un peu élargie, s’efforçant cependant de la laisser accessible. La principale addition a été celle du § 13 sur l’ellipse, l'hyperbole, la parabole, en tant que sections de surfaces coniques.

Afin de ne pas augmenter le volume du livre, la plupart des données relatives aux courbes sont exposées sans démons­tration, bien que souvent on aurait pu les démontrer sous une forme accessible au lecteur.

La leçon «Aires et logarithmes» a été faite à l'Uni­versité de Moscou à un large auditoire d'écoliers, futurs participants aux olympiades mathématiques. Son but est d'exposer la théorie géométrique des logarithmes, dans laquelle les logarithmes apparaissent comme certaines aires et où toutes leurs propriétés sont tirées des propriétés de

ces aires. Chemin faisant, la leçon fait connaître les notions et faits élémentaires du calcul intégral. Dans ce volume elle est donnée avec quelques suppléments. En en commen­çant la lecture, on peut ne pas savoir ce que c’est qu’un logarithme. Seule est nécessaire la connaissance des fonctions les plus élémentaires et leur représentation graphique, celle de la progression géométrique et de la notion de limite.

La leçon « Suites récurrentes » a été exposée par l ’auteur aux écoliers participant à l’olympiade mathématique de Moscou et, sous un aspect un peu modifié, à l’Institut de Moscou pour le perfectionnement des instituteurs. Dans le présent volume, elle est quelque peu élargie.

Son thème se rapproche du cours scolaire (progressions arithmétiques et géométriques, suite des carrés des nombres

 naturels, suites des coefficients du quotient de polynômes disposés par degrés croissants, etc.). C’est en meme temps une véritable petite théorie mathématique *), achevée, simple et claire, comme tout ce qui est sorti des mains des grands maîtres de l’analyse mathématique qui l’ont créée.

Les principes de la théorie des suites récurrentes ont été élaborés et publiés dans les années vingt du XVIII epar le mathématicien français Moivre [dont le nom a été donné à la formule: (cosa isina)1= cosna + isinna] et par un des premiers membres, chronologiquement, de l’Aca­ démie des Sciences de Saint-Pétersbourg, le mathématicien suisse Daniel Bernoulli. La théorie développée en a été donnée par un des plus éminents mathématiciens du XVIIIe siècle, Leonhard Euler, membre de l’Académie de Saint- Pétersbourg, qui a consacré aux suites (séries) récurrentes le Chapitre treize de son « Introduction à l ’analyse des infiniment petits » (1748). Parmi des travaux plus récents, il convient de signaler l’exposé de la théorie des suites récurrentes dans le cours du calcul des différences finies par les célèbres mathématiciens russes, membres de l’Aca­ démie, P. Tchébychev et A. Markov.

La dernière leçon fait connaître au lecteur les nombres complexes et les fonctions élémentaires qui s’y rapportent (y compris la fonction de Joukovski et son application à la construction du profil d’aile d’avion). La forme géométrique a été donnée à l’exposé. Les nombres complexes sont consi­ dérés comme des secteurs orientés; les fonctions, comme des représentations. Pour rendre accessible au lecteur cette façon de comprendre les nombres complexes, nous commen­ çons par l’interprétation géométrique des nombres réels et des opérations effectuées sur eux. Une connaissance préalable des nombres complexes n’est pas exigée du lecteur.