Théorèmes Et Problèmes D’ Analyse Fonctionnelle Mir | A. Kirillov, A. Gvichiani

La plus élémentaire abstraction mathématique, la droite, est vue sous des angles différents par les diverses branches mathématiques. Ainsi, l’approche algébrique de l’étude de la droite consiste à en décrire les propriétés en tant qu’ensemble dont les éléments sont justiciables d’« opérations », et à en construire un modèle algébrique sur la base de ces propriétés et non des propriétés topologiques. La topologie fait abstraction de la structure algébrique de la droite et en élabore un modèle formel fondé essentiellement sur sa « continuité ». L’analyse traite la droite et les fonctions sur la droite dans l’unité de leurs propriétés algébriques et topologiques. La même situation prévaut à des niveaux supérieurs de l’abstraction. L’algèbre étudie les espaces vectoriels, les groupes, les anneaux, les modules, etc. La topologie, toute sorte de structures sur des ensembles arbitraires conférant un sens mathématique aux notions de limite, continuité, voisinage, etc. L’analyse fonctionnelle, les espaces vectoriels topologiques, les groupes topologiques, les anneaux normés, les modules des représentations des groupes topologiques dans les espaces vectoriels topologiques, etc. Donc, le principal objet de l’analyse fonctionnelle est l’étude d’êtres doués de structures algébrique et topologique compatibles.

Le cours d’analyse fonctionnelle, lu à la faculté de mécanique et de mathématiques de l’Université d’Etat de Moscou par A. Kolmogorov, et  qui comprend traditionnellement la théorie de la mesure et l’intégrale de Lebesgue, est essentiellement consacré aux aspects classiques de l’analyse fonctionnelle. L’ouvrage que nous proposons au lecteur est une tentative de généralisation et de systématisation de l’expérience d’enseignement de ce cours à la faculté de mécanique et de mathématiques de l’Université d’Etat de Moscou. Il poursuit les objectifs suivants. Exposer les notions théoriques indispensables d’analyse au niveau des facultés de mathématiques. Fournir aux professeurs et aux étudiants un manuel reliant organiquement la théorie et la pratique et contenant des indications assez détaillées pour la résolution des exercices.

Donner au lecteur une idée de certains éléments de l’appareil mis en oeuvre pour la résolution des exercices d’analyse fonctionnelle modern (catégories, foncteurs, espace de cohomologies, caractères des groupes, etc.). Mettre entre les mains du lecteur un ouvrage susceptible de le seconder dans l’étude des chapitres classiques de l’analyse fonctionnelle et dans l’assimilation des méthodes de résolution des exercices.

Cet ouvrage se décompose en trois parties étroitement liées entre elles: théorie, exercices et indications. Les chapitres correspondants de chacune de ces parties sont regroupés sous un même titre. Les chapitres sont divisés en paragraphes, les paragraphes en numéros (sauf le chapitre I).

A chaque numéro de la théorie sont consacrés 23 exercices de complexité variable, ceux qui constituent le strict minimum étant affectés d’un rond, ceux qui sont compliqués, d’un astérisque. Les quelques exercices particulièrement difficiles sont marqués de deux astérisques. Leurs corrigés peuvent être expliqués par le professeur ou bien faire l’objet d’un travail personnel. Quant aux exercices marqués d’un rond on pourrait les recommander pour des interrogations écrites.

Les auteurs tiennent à exprimer leur reconnaissance à S. Agaïan, A. Zelevinsky et A. Troussovpour l’aide apportée à la rédaction des indications.

Traduit du russo par Djilali Embarek