Algèbre Et Théorie Des Nombres | L. Koulikov

Ces dernières années on a introduit dans les instituts pédagogiques un nouveau programme de cours unifié d'algèbre et de théorie des nombres. L’objet principal de ce cours est l’étude des systèmes algé­ briques fondamentaux ainsi que la formation de la culture algébrique des futurs enseignants nécessaire à la compréhension profonde des objectifs et des tâches d’un cours scolaire des mathématiques élé­ mentaires ou à option. L’ouvrage proposé a été rédigé en se con­ formant aux nouveaux programmes.

Conventionnellement l’ouvrage peut être divisé en trois parties liées intimement entre elles. La première partie présente des élé­ ments de logique, des concepts concernant les ensembles et les relations, des notions préliminaires sur les algèbres et les systèmes algébriques, les systèmes numériques de base. Les éléments de logique et de théorie des ensembles sont exposés de façon suffisam­ ment complète et sont, ensuite, largement utilisés dans le cours d’algèbre et autres branches des mathématiques. L’information pré­ liminaire sur les algèbres et les systèmes algébriques, les groupes et les anneaux est fournie par le chapitre III. Sur cette base sont étudiés les systèmes numériques fondamentaux: système des nombres naturels, anneau des entiers, corps des nombres rationnels, système des nombres réels et corps des nombres complexes. Le système des nombres réels est introduit comme un corps complet totalement or­ donné (archimédien). La seconde partie (chapitres V-IX) est réservée à l’algèbre linéaire. On étudie d’abord les espaces vectoriels arithmé­ tiques et les systèmes d’équations linéaires, abstraction faite des déterminants. C’est seulement au chapitre VI que les déterminants sont appliqués à la résolution des systèmes d’équations linéaires. Cette manière de procéder non traditionnelle allège le calcul des principaux problèmes, la théorie des systèmes d’équations linéaires s’incorporant ainsi organiquement à la théorie des espaces vectoriels arithmétiques. Le chapitre IX traite des systèmes d’inégalités liné­ aires et des éléments de programmation linéaire (problèmes cano­ niques et problèmes standards, principe de dualité et méthode du simplexe).

La troisième partie du livre (chapitres X-XVII) est réservée aux groupes, aux sujets numériques théoriques, aux anneaux et aux anneaux des polynômes. Dans les deux derniers chapitres on étudie les anneaux des polynômes associés aux corps numériques de base ainsi que les éléments de la théorie des corps.

Plusieurs chapitres sont étroitement liés aux nouveaux program­ mes scolaires et peuvent servir de base aux cours scolaires à option. Tous les chapitres sont divisés en paragraphes. Si l’on se réfère

au paragraphe du chapitre, on n’indique que le numéro du paragra­ phe. Dans la référence au paragraphe d’un autre chapitre le numéro <lu chapitre précède celui du paragraphe cité. Les théorèmes, les propositions et les corollaires d’un même paragraphe sont numérotés successivement. La référence au théorème ou à la proposition du chapitre est faite en indiquant le numéro du paragraphe suivi de celui du théorème. La référence au théorème ou à la proposition d’un autre chapitre comporte successivement le numéro du chapitre, du paragraphe et du théorème. Par exemple, la référence «théorè­ me 4.2 » signifie théorème 2 du paragraphe 4 du même chapitre, « théorème 4.2.6 », théorème 6 du paragraphe 2 du chapitre IV.