análise de Fourier e waveletsby sinais estacionários e não estacionários by Hélio M de Oliveira –

Esta obra e redigida em espírito antagônico à escritura categórica de Matemática: «uma convenção estrita: esconder cautelosamente os menores indícios que sugiram uma eventual possibilidade que o autor, ou o leitor, é um ente humano»(TheMathematical Experience,].Davis,R. Hersh, Boston: Birkhãuser, l980, p.36).

As idéias de Joseph Fourier bicentenárias! Quantos contribuintes científicos resistem, com autoridade semelhante, simultaneamente nasáreas de Engenharia, Matemática e Física? Esta obra comemora os dois séculos de relevância nas ciências (1807-2007) do nascimento das idéias centrais de Fourier. Ocasião propícia. Tantos e quantos livros textos sobre a análise de Fourier... Este, em particular, enfoca uma abordagem característica, um pouco menos convencional. Uma sinopse sobre desenvolvimentos em séries ortogonais generalizadas (e.g. séries de Legendre-Fourier, Chebyshev-Fourier, ...), com ênfase na representação trigonométrica de Fourier, é apresentado. Fourier fez inúmeras contribuições à Matemática, incluindo um pioneirismo na introdução da notação adotada hoje. A apresentação de séries envolve igualmente o fenômeno de Gibbs, os critérios para a convergência de séries (condições de Dirichlet, teorema de Fourier, teorema de Fejér), convergência l.i.m., pontual e uniforme. As implicações do “Reino de Fourier” na Engenharia Acústica são discutidas. Tópicos como notas musicais, consonâncias & dissonâncias, classificação de instrumentos musicais foram incluídos. Apresenta-se a teoria dos tapers de Tukey (data windows) e particularmente a janela de Lanczos é revistada. O uso da série de Fourier para modelar processo fractais determinísticos é ilustrado, como no caso das funções de Weierstrass, além do uso da série de Fourier como mecanismo de geração de fractais aleatórios (do tipo movimento Browniano fracionário). A passagem para o contínuo conduz à transformada de Fourier, cujas propriedades são investigadas e revisadas. O princípio da incerteza de Gabor-Heisenberg é intimamente conectado à teoria de Fourier. Cálculos computacionais do espectro conduzem à transformada discreta de Fourier (DFT), cuja interpretação e propriedades são discutidas. Mecanismos para o cálculo eficiente do espectro são também tratados (os algoritmos rápidos, ditos transfomladas rápidas). Os resultados de Heidman sobre complexidade multiplicativa para a DFT são apresentados. Outros tipos de transformadas conectadas à transformada clássica de Fourier são apresentadas, incluindo a transformada de Walsh- Hadamard, entre outras. A análise espectral clássica evolui no final o século XX para o tratamento de sinais não estacionários. Uma vez mais, a análise moderna com base em wavelets funciona intimamente ligada à abordagem Fourier. O teorema da amostragem é discutido, com uma demonstração do tipo “viva Fourier”, assim como o teorema 2BT sobre dimensionalidade de sinais. Como ferramentas potentes que generalizam as teorias clássicas, dois apêndices foram adicionados, tratando da teoria da integração de bebesgue e da teoria das distribuições. A abordagem sobre a teoria das distribuições de Laurent Schwartz tem no texto principal um enfoque pessoal do autor, além de um apêndice no qual a apresentação segue uma rota mais formal. Parcos resultados recentes do autor foram incluídos, tais como: séries quantizadas de Fourier; wavelets de “de Oliveira”; novos algoritmos rápidos; com base em decomposição multicamada de Hadamard, autofunções do operador “transformada de Fourier”; uma probabilidade aritmética; e por fim, a transformada de Fourier em corpos finitos. Aplicações modernas da transformada de Fourier (e wavelets) na descontaminação de sinais são argumentadas com um enfoque pragmático. Mesmo os princípios de tomografia computadorizada com base em Fourier são apresentados. A adaptação da análise de Fourier para sinais estocásticos conduz às séries estocásticas de Fourier, e expansões de Kahunen—Loève. Até mesmo a modelagem não linear para sistemas com base em séries de Volterra é apresentada. Por fim, o reino de Fourier conquista definitivamente o mundo finito e digital, migrando para a transformada de Fourier de corpo finito (transformada de Galois-Fourier). Uma coletânea de mais de cem exercícios com respostas é incluída, facilitando o aprendizado e prática na aplicação destas ferramentas. Os exercícios são provenientes de um extrato de Listas de Problemas semanais e de Exercícios Escolares. Uma breve cronologia situa os principais personagens neste épico. Além de constituir uma técnica essencial para as Engenharias, os resultados são vitais em áreas como: Óptica e Processamento com lentes; Imagens médicas (tomografia computadorizada de Raios X CT/CAT; tomografia por emissão PET[ECT ; ressonância magnética nuclear NMR); em estudos da estrutura atômica da matéria (incluindo cristalografia de Raios X, microscopia óptica e por contraste de fase); e na estrutura do Universo (radioastronomia, interferometria, estudo de fontes de radiação), além de técnicas modernas de Espectroscopia (e.g. espectroscopia de massa). A expectativa é fornecer uma visão complementar sobre as ferramentas, as aplicações e a importância do tema no mundo científico. A propósito dos Fourier (Charles Fourier x Jean Fourier), Victor Hugo mencionou redondamente equivocado sobre o legado dos dois para a posteridade...