Introduction Aux Mathématiques Discrètes | Serge Yablonski

Les mathématiques discrètes plongent leurs racines dans la plus haute antiquité. Comme leur nom 1'indique, elles sont 1'antithèsedes mathématiques <<continues>>. Dans un sens large les mathéma- tiques discrètes comprennent des disciplines << mûres >> telles lathéorie des nombres, l'algèbre, la logique mathématique ainsi que des disciplines qui ont commencé à se développer le plus intensé-

ment au milieu de ce siècle par suite du progrès scientifique et tech- nique qui a mis à 1'ordre du jour 1'étude de systèmes commandés àl'aide des calculateurs. Dans un sens étroit les mathématiques dis- crètes restreignent leur champ à l'étude de ces nouvelles disciplines. C'est précisément dans cet esprit que nous les comprenons en rap- portant à ces nouvelles disciplines la théorie des systèmes fonction- nels, la théorie des graphes et des réseaux, la théorie du codage, l'analyse combinatoire, la programmation en nombres entiers, etc.

Les mathématiques discrètes ne constituent pas seulement une base de la cybernétique, elles sont aussi un important maillon dans la culture mathématique. Le contenu de cet ouvrage correspond à deux types de programmes du cours «Mathématiques discrètes>>: un programme standard pour les facultés de mathématiques appli- quées et de cybernétique et un programme calqué sur le cours luà l'Université de Moscou. Ces programmes ne se fixent pas pour objectif de développer des problèmes d'actualités. Une spécialisa- tion excessive et un assujettissement des programmes à des faits spéciaux présentent un risque, celui d'une dévalorisation de ces faits au bout de 10 à 15 ans (ce qui coïncide précisément avec la plus intense période d'activités des étudiants qui ont suivi ce cours). Pour cette raison, le but majeur de cet ouvrage est l'initiation aux méthodes de raisonnement propres aux mathématiques discrètes. Cet ouvrage familiarise le lecteur avec les problèmes clefs de quel- ques domaines des mathématiques discrètes et de leurs applications. L'exposé est conçu de manière à réduire au minimum le nombre des notions nécessaires et, d'autre part, à donner quelques dix à quinze théorèmes importants avec des démonstrations différentes, à faire enfin connaître les applications de la notion d'algorithme dont la maîtrise est primordiale pour les mathématiciens appliqués.

Ce livre a son origine dans le cours lu par l'auteur à la faculté de mécanique et de mathématiques de l'Université de Moscou en 1964.

Cet ouvràge comprend quatre parties.
Première partie. Systèmes de fonctions munis d'opérations. Deuxième partie. Graphes et réseaux.
Troisième partie. Théorie du codage.
Quatrième partie. Quelques applications à la cybernétique. De nombreuses questions ne sont pas traitées sous une forme abstraite: on fait largement appel au langage géométrique et aux interprétations suggestives. Ceci permet de combiner dans les cons- tructions la rigueur à la suggestion. Il faut dire que deux points de vue extrêmes prévalent en mathématiques: le manque de rigueuret la rigueur à outrance. Ces tendances sont aussi dangereuses l'uneque l'autre. La rigueur doit correspondre au problème étudié (et auniveau de l'auditoire) au même titre que dans les calculs approchés le nombre de décimales doit correspondre à la précision des données initiales. Un« excès >>de rigueur est dans cet ordre d'idées comparable aux calculs comprenant un nombre élevé de décimales.

Les démonstrations de nombreux théorèmes sont dues à l'auteur et sont publiées pour la première fois.

Cet ouvrage est destiné aux étudiants, élèves du second et du troisième cycle ainsi qu'aux chercheurs.